Ellipsoide


En ellipsoide er en lukket flade i et 3-dimensionalt rum. Man kan tænke på den som en 3D analogi til ellipsen, på samme måde som kuglen er det for en cirkel.

Indholdsfortegnelse

Beskrivelse


Standardligningen for en ellipsoide centeret i origo af et Kartesisk koordinatsystem er:

\({\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}\)

Hvor a, b, c er længden af de tre halv-akser målt på hhv. x-, y- og z-aksen.

Undertyper

Man kan underinddele ellipsoiden i fire forskellige tilfælde på baggrund af halv-aksernes indbyrdes længde:


Rumfang

Rumfanget (V) af en ellipsoide er givet ved formlen:

\({\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc}\)

Bemærk, at ligningen reduceres til rumfanget for en kugle når alle tre elliptiske radier er ens.

Overfladeareal

Overfladearealet (S) af en generel (tri-aksial) ellipsoide er[1][2]

\({\displaystyle S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin \phi }}\left(E(\phi ,k)\,\sin ^{2}\phi +F(\phi ,k)\,\cos ^{2}\phi \right),}\)
hvor
\({\displaystyle \cos \phi ={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}},\qquad a\geq b\geq c,}\)

og F(φ,k), E(φ,k) er ukomplette elliptiske integraler af første og anden art respektivt. DLMF: §19.2 Definitions Arkiveret 2. december 2012 hos Wayback Machine


For omdrejningsellipsoiden kan udtrykket reduceres til:

\({\displaystyle S_{\rm {oblat}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}e\right)\quad {\mbox{hvor}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\quad (c<a).}\)
\({\displaystyle S_{\rm {prolat}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\sin ^{-1}e\right)\quad \qquad {\mbox{hvor}}\;\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}\quad (c>a).}\)

I begge tilfælde kan e betragtes som excentriciteten af den ellipse der fremkommer ved et tværsnit gennem symmetriaksen.


Eksempler på ellipsoidelignende figurer i den virkelige verden



Benævnelser

Matematisk litteratur bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'tri-aksial ellipsoide'.

Videnskabelig litteratur (især geodæsi) bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide' og benytter kun adjektivet 'tri-aksial' i det generelle tilfælde.

Ældre litteratur bruger 'sfæroide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide'.

Ethvert plant snit gennem ellipsoidens centrum giver en ellipse (og en cirkel, hvis snitplanet er vinkelret på en omdrejningsellipsoides symmetriakse).


Ellipsoider i kartografi


Indenfor kartografien benyttes oblate omdrejningsellipsoider, kaldet referenceellipsoider, til at koordinatsætte punkter på Jorden.


Kilder


  1. ^ F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, and C. W. Clark, editors, 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions (Cambridge University Press), kan findes på nettet DLMF: §19.33 Triaxial Ellipsoids Arkiveret 2. december 2012 hos Wayback Machine (see next reference).
  2. ^ NIST (National Institute of Standards and Technology) på National Institute of Standards and Technology Arkiveret 17. juni 2015 hos Wayback Machine 29. dec. 2012









Kategorier: Geometriske former




Oplysninger pr: 26.02.2021 12:41:48 CET

Kilde: Wikipedia (Forfattere [Historik])    Licens: CC-by-sa-3.0

Ændringer: Alle billeder og de fleste designelementer, der er relateret til dem, blev fjernet. Nogle ikoner blev erstattet af FontAwesome-Icons. Nogle skabeloner blev fjernet (som "artikel skal udvides) eller tildeles (som" hatnotes "). CSS-klasser blev enten fjernet eller harmoniseret.
Wikipedia-specifikke links, der ikke fører til en artikel eller kategori (som "Redlinks", "links til redigeringssiden", "links til portaler") blev fjernet. Hvert eksternt link har et ekstra FontAwesome-ikon. Foruden nogle små designændringer blev medie-container, kort, navigationsbokse, talte versioner og Geo-mikroformater fjernet.

Bemærk venligst: Da det givne indhold automatisk tages fra Wikipedia på det givne tidspunkt, var og er en manuel verifikation ikke mulig. Derfor garanterer LinkFang.org ikke nøjagtigheden og virkeligheden af det erhvervede indhold. Hvis der er en information, der er forkert i øjeblikket eller har en unøjagtig visning, er du velkommen til at kontakt os: e-mail.
Se også: Aftryk & Fortrolighedspolitik.