Interval (matematik)


For alternative betydninger, se Interval. (Se også artikler, som begynder med Interval)
Der er ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem.
Du kan hjælpe ved at angive kilder til de påstande, der fremføres. Hvis ikke der tilføjes kilder, vil artiklen muligvis blive slettet.

Et interval er i matematiske sammenhænge en mængde bestående af samtlige reelle tal, der ligger mellem to givne tal, kaldet endepunkter. Disse to tal, der udgør grænserne for intervallet, kan enten være en del af eller stå uden for intervallet, og man skelner således mellem åbne, halvåbne og lukkede intervaller.

Indholdsfortegnelse

Notation


Intervaller skrives som de to tal, der angiver endepunkterne, adskilt af et semikolon (;), og omgivet af kantede parenteser, [ og ]. Parenteserne bruges til at markere, om de angivne endepunkter er en del af eller står uden for intervallet: Vender en parentes ind imod et tal, er tallet "med i" intervallet. Vender parentesen væk fra tallet, er tallet lige akkurat ikke med. Nogle eksempler:

Formelt gælder altså:

\({\displaystyle [a;b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}\),
\({\displaystyle ]a;b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}}\),
\({\displaystyle [a;b[=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}}\) og
\({\displaystyle ]a;b[=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}}\).

En anden notation bruger både kantede parenteser og de "almindelige", runde parenteser, som alle vender "indad" mod tallene. Til gengæld bruges en kantet parentes ved siden af et endepunkt, der er med i intervallet og en rund parentes ved endepunkter der er uden for intervallet. Eksemplet foroven kan derfor også skrives som:

\({\displaystyle [a;b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}\),
\({\displaystyle (a;b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}}\),
\({\displaystyle [a;b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}}\) og
\({\displaystyle (a;b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}}\).

Eftersom runde parenteser altid vender indad mod intervallets endepunkter, giver det sig selv, at den første linje ikke kan skrives med runde parenteser, da kun firkantparenteser skifter mellem at være inklusive og eksklusive alt afhængig af hvilken retning, de vender, og om de står før eller efter intervallets endepunkter.

Åbne, halvåbne og lukkede intervaller


Et interval som eksemplet [2;5], hvor begge de angivne tal er "med i" intervallet, omtales som et lukket interval, mens intervaller hvor ingen af de afgrænsende tal er en del af intervallet, som eksemplet ]2;5[, kaldes for et åbent interval. I de andre to eksempler er det ene tal en del af intervallet, mens det andet står udenfor, og begge omtales som halvåbne intervaller.

Ubegrænsede intervaller


Der findes også ubegrænsede intervaller, der er uendeligt lange. Med kun ét endepunkt findes åbne intervaller af typen \({\displaystyle \left]a;\infty \right[}\) og \({\displaystyle \left]-\infty ;b\right[}\) samt lukkede af typen \({\displaystyle \left[a;\infty \right[}\) og \({\displaystyle \left]-\infty ;b\right]}\).

Intervallet \({\displaystyle \left]-\infty ;\infty \right[}\) (alle reelle tal) har ingen endepunkter og er derfor både åbent og lukket.

Bemærk at overalt hvor "uendelig" (\({\displaystyle \infty }\)) eller "minus uendelig" (\({\displaystyle -\infty }\)) indgår, er disse to værdier aldrig "med" i intervallet; den kantede parentes skal per konvention altid "vende væk" fra \({\displaystyle \infty }\) eller \({\displaystyle -\infty }\).

Degenererede intervaller


Etpunktsmængder af typen {a} samt den tomme mængde Ø er også sammenhængende delmængder af de reelle tal, men de opfattes normalt ikke som "rigtige" intervaller. Men hvis man tager disse degenererede intervaller og de "rigtige" intervaller under ét, har man en beskrivelse af netop de sammenhængende mængder af reelle tal.

Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.









Kategorier: Mængdelære




Oplysninger pr: 02.10.2021 01:21:29 CEST

Kilde: Wikipedia (Forfattere [Historik])    Licens: CC-BY-SA-3.0

Ændringer: Alle billeder og de fleste designelementer, der er relateret til dem, blev fjernet. Nogle ikoner blev erstattet af FontAwesome-Icons. Nogle skabeloner blev fjernet (som "artikel skal udvides) eller tildeles (som" hatnotes "). CSS-klasser blev enten fjernet eller harmoniseret.
Wikipedia-specifikke links, der ikke fører til en artikel eller kategori (som "Redlinks", "links til redigeringssiden", "links til portaler") blev fjernet. Hvert eksternt link har et ekstra FontAwesome-ikon. Foruden nogle små designændringer blev medie-container, kort, navigationsbokse, talte versioner og Geo-mikroformater fjernet.

Bemærk venligst: Da det givne indhold automatisk tages fra Wikipedia på det givne tidspunkt, var og er en manuel verifikation ikke mulig. Derfor garanterer LinkFang.org ikke nøjagtigheden og virkeligheden af det erhvervede indhold. Hvis der er en information, der er forkert i øjeblikket eller har en unøjagtig visning, er du velkommen til at kontakt os: e-mail.
Se også: Aftryk & Fortrolighedspolitik.