Fordelingsfunktion


(Omdirigeret fra Sandsynlighedsfordeling)

Inden for sandsynlighedsregning er en fordelingsfunktion for en stokastisk variabel \({\displaystyle X}\) en særlig funktion hvorudfra alt det sandsynlighedsmæssigt interessante (fordelingen) ved \({\displaystyle X}\) kan udledes.

Definition


Værdien af fordelingsfunktionen \({\displaystyle F}\) i et punkt \({\displaystyle x\in \mathbb {R} }\) er defineret som sandsynligheden for at den betragtede stokastiske variabel \({\displaystyle X}\) højst er \({\displaystyle x}\), altså

\({\displaystyle F(x)=P(X\leq x)}\)

hvor \({\displaystyle P}\) er sandsynlighedsmålet.

Simpel anvendelse


Ovenstående kan også fortolkes som en interval-sandsynlighed:

\({\displaystyle P(X\in \left]-\infty ,b\right])=F(b)}\)

Ønsker man et begrænset interval, foregår det simpelthen således:

\({\displaystyle P(X\in \left]a,b\right])=F(b)-F(a)}\)

Ekstra omhu må udvises ved endepunkterne. For eksempel fås sandsynligheden for et kompakt interval ved

\({\displaystyle P(X\in \left[a,b\right])=F(b)-\lim _{x\to a-}F(x)}\)

hvor grænseværdien er for \({\displaystyle x}\) gående mod \({\displaystyle a}\) fra venstre. Tilsvarende er punktsandsynligheden

\({\displaystyle P(X=a)=F(a)-\lim _{x\to a-}F(x)}\)

Egenskaber


Enhver fordelingsfunktion \({\displaystyle F}\) har følgende egenskaber:

Omvendt vil en vilkårlig funktion med ovennævnte egenskaber være en fordelingsfunktion for en passende stokastisk variabel (i et passende sandsynlighedsfelt).

Såfremt \({\displaystyle F}\) er en kontinuert funktion (altså også fra venstre), behøver man ikke at bekymre sig om hvorvidt endepunkter er med eller ej (ulighedstegn er skarpe eller bløde). Det er tilfældet netop hvis alle punktsandsynligheder \({\displaystyle P(X=a)}\) er nul.

Hvis fordelingen endda er absolut kontinuert, eksisterer der en passende funktion \({\displaystyle f}\) (se tæthedsfunktion) således at fordelingsfunktionen fremkommer ved integration: \({\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\;\mathrm {d} t}\). En absolut kontinuert fordeling er også kontinuert.

Hvis den stokastiske variabel er diskret, er grafen for \({\displaystyle F}\) en trappekurve bestående af vandrette linjestykker. Springene som \({\displaystyle F}\) tager mellem "trinnene", svarer da til punktsandsynlighederne, og \({\displaystyle F}\) kan da beregnes ved at summere alle disse spring op til det betragtede punkt.










Kategorier: Sandsynlighedsregning




Oplysninger pr: 02.10.2021 02:23:54 CEST

Kilde: Wikipedia (Forfattere [Historik])    Licens: CC-BY-SA-3.0

Ændringer: Alle billeder og de fleste designelementer, der er relateret til dem, blev fjernet. Nogle ikoner blev erstattet af FontAwesome-Icons. Nogle skabeloner blev fjernet (som "artikel skal udvides) eller tildeles (som" hatnotes "). CSS-klasser blev enten fjernet eller harmoniseret.
Wikipedia-specifikke links, der ikke fører til en artikel eller kategori (som "Redlinks", "links til redigeringssiden", "links til portaler") blev fjernet. Hvert eksternt link har et ekstra FontAwesome-ikon. Foruden nogle små designændringer blev medie-container, kort, navigationsbokse, talte versioner og Geo-mikroformater fjernet.

Bemærk venligst: Da det givne indhold automatisk tages fra Wikipedia på det givne tidspunkt, var og er en manuel verifikation ikke mulig. Derfor garanterer LinkFang.org ikke nøjagtigheden og virkeligheden af det erhvervede indhold. Hvis der er en information, der er forkert i øjeblikket eller har en unøjagtig visning, er du velkommen til at kontakt os: e-mail.
Se også: Aftryk & Fortrolighedspolitik.