Varians


Varians er et begreb inden for sandsynlighedsregning og statistik, der angiver variabiliteten af en stokastisk variabel.

Variansen et mål for, hvor meget den stokastiske variabels værdier i gennemsnit afviger fra middelværdien.

Variansen for en stokastisk variabel \({\displaystyle X}\) er defineret som

\({\displaystyle {\mbox{Var}}(X)={\mbox{E}}\left((X-{\mbox{E}}(X))^{2}\right)}\)

hvor \({\displaystyle {\mbox{E}}(X)}\) angiver middelværdien af den stokastiske variabel. Det kan let vises, at

\({\displaystyle {\mbox{Var}}(X)={\mbox{E}}(X^{2})-\left({\mbox{E}}(X)\right)^{2}}\)

Standardafvigelsen eller Spredningen, \({\displaystyle \sigma }\), af en stokastisk variabel er defineret som kvadratroden af variansen, dvs.

\({\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\mbox{Var}}(X)}}}\)

Empiriske størrelser


Hvis man har et datasæt bestående af observationerne \({\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}\) og ønsker at beregne et skøn over variansen, benyttes normalt den empiriske varians \({\displaystyle s^{2}}\), som ikke er det samme som V (Varians). Denne er givet ved

\({\displaystyle s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{n-1}}}\)

hvor \({\displaystyle {\bar {x}}}\) er gennemsnittet af observationerne (et skøn over middelværdien) og \({\displaystyle n}\) er antallet af observationer.

Den empiriske spredning \({\displaystyle s}\) er givet ved kvadratroden af den empiriske varians.

Regneteknisk kan \({\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}\) beregnes som \({\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-{\frac {(\sum _{i=1}^{n}x_{i})^{2}}{n}}}\), hvilket betyder, at man kan summere data op løbende uden at beholde de enkelte observationer.

Regneregler for varians


Variansen af en stokastisk variabel ganget med en konstant er lig variansen for variablen ganget med konstanten opløftet i 2. potens. Variansen ændres derimod ikke, hvis der lægges en konstant til. Disse to regneregler kan udtrykkes matematisk således (hvor \({\displaystyle X}\) er en stokastisk variabel, og \({\displaystyle a}\) og \({\displaystyle b}\) er konstanter):

\({\displaystyle {\mbox{Var}}(a\cdot X+b)=a^{2}\cdot {\mbox{Var}}(X).}\)

Variansen af en sum af to forskellige stokastiske variable er lig summen af deres varians samt 2 gange deres kovarians. Hvis \({\displaystyle X}\) og \({\displaystyle Y}\) er to stokastiske variable med kovarians \({\displaystyle {\mbox{Cov}}(X,Y)}\) skrives det:

\({\displaystyle \ {\mbox{Var}}(X+Y)={\mbox{Var}}(X)+{\mbox{Var}}(Y)+2{\mbox{Cov}}(X,Y).}\)

Hvis \({\displaystyle X}\) og \({\displaystyle Y}\) er stokastisk uafhængige bliver kovariansen nul, og udtrykket kan reduceres til

\({\displaystyle \ {\mbox{Var}}(X+Y)={\mbox{Var}}(X)+{\mbox{Var}}(Y).}\)

Ofte kan nedenstående omskrivning gøre det lettere at beregne variansen af en stokastisk variabel.

\({\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}.\end{aligned}}}\)

Se også


Spire
Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den .









Kategorier: Statistik | Sandsynlighedsregning




Oplysninger pr: 02.10.2021 04:16:22 CEST

Kilde: Wikipedia (Forfattere [Historik])    Licens: CC-BY-SA-3.0

Ændringer: Alle billeder og de fleste designelementer, der er relateret til dem, blev fjernet. Nogle ikoner blev erstattet af FontAwesome-Icons. Nogle skabeloner blev fjernet (som "artikel skal udvides) eller tildeles (som" hatnotes "). CSS-klasser blev enten fjernet eller harmoniseret.
Wikipedia-specifikke links, der ikke fører til en artikel eller kategori (som "Redlinks", "links til redigeringssiden", "links til portaler") blev fjernet. Hvert eksternt link har et ekstra FontAwesome-ikon. Foruden nogle små designændringer blev medie-container, kort, navigationsbokse, talte versioner og Geo-mikroformater fjernet.

Bemærk venligst: Da det givne indhold automatisk tages fra Wikipedia på det givne tidspunkt, var og er en manuel verifikation ikke mulig. Derfor garanterer LinkFang.org ikke nøjagtigheden og virkeligheden af det erhvervede indhold. Hvis der er en information, der er forkert i øjeblikket eller har en unøjagtig visning, er du velkommen til at kontakt os: e-mail.
Se også: Aftryk & Fortrolighedspolitik.